【前言】在中考中，有一類題目說難不難，說不難又難，有的時(shí)候三兩下就有了思路，有的時(shí)候苦思冥想很久也沒有想法，這就是列方程或方程組解應(yīng)用題。方程可以說是初中數(shù)學(xué)當(dāng)中最重要的部分，所以也是中考中必考內(nèi)容。從近年來的中考來看，結(jié)合時(shí)事熱點(diǎn)考的比較多，所以還需要考生有一些生活經(jīng)驗(yàn)。實(shí)際考試中，這類題目幾乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么幾種題型，所以考生只需多練多掌握各個(gè)題類，總結(jié)出一些定式，就可以從容應(yīng)對(duì)了。
第一部分 真題精講
【例1】家電下鄉(xiāng)農(nóng)民得實(shí)惠，根據(jù)家電下鄉(xiāng)的有關(guān)政策：農(nóng)戶每購買一件家電，國家將按每件家電售價(jià)的 補(bǔ)貼給農(nóng)戶，小明的爺爺2009年5月份購買了一臺(tái)彩電和一臺(tái)洗衣機(jī)，他從鄉(xiāng)政府領(lǐng)到了390元被貼款，若彩電的售價(jià)比洗衣機(jī)的售價(jià)高1000元，問一臺(tái)彩電和一臺(tái)洗衣機(jī)的售價(jià)各是多少元?
【思路分析】首先仔細(xì)看題，明確說明彩電售價(jià)比洗衣機(jī)售價(jià)高1000，那么一方面可以設(shè)一個(gè)未知數(shù)彩電為x，那么洗衣機(jī)自然就可以用x-1000表示，另一方面也可以直接設(shè)兩個(gè)未知數(shù)彩電x和洗衣機(jī)y，利用高1000的條件制造等量關(guān)系。其次說補(bǔ)貼是售價(jià)的13%，而又明確給出小明的爺爺領(lǐng)到了390元，所以這390元就是售價(jià)的補(bǔ)貼。于是建立方程13%(x+x-1000)=390或者方程組 。這一題要把握的就是兩個(gè)等量關(guān)系，一個(gè)是售價(jià)差等于1000，另一個(gè)是售價(jià)的13%等于補(bǔ)貼。于是可以得出答案。
【解析】(列方程組解)
解：設(shè)一臺(tái)彩電的售價(jià)為 元，一臺(tái)洗衣機(jī)的售價(jià)為 元.
根據(jù)題意得：
解得
答：一臺(tái)彩電售價(jià)2000元，一臺(tái)洗衣機(jī)售價(jià)1000元.
【例2】某采摘農(nóng)場計(jì)劃種植 兩種草莓共6畝，根據(jù)表格信息，解答下列問題：
項(xiàng)目 品種 A B
年畝產(chǎn)(單位：千克) 1200 2000
采摘價(jià)格(單位：元/千克) 60 40
(1)若該農(nóng)場每年草莓全部被采摘的總收入為 元，那么 兩種草莓各種多少畝?
(2)若要求種植 種草莓的畝數(shù)不少于種植 種草莓的一半，那么種植 種草莓多少畝時(shí)，可使該農(nóng)場每年草莓全部被采摘的總收入最多?
【思路分析】本題依然是通過方程表達(dá)總量去解決。總收入就是A的畝產(chǎn)乘以價(jià)格加上B的畝產(chǎn)乘以價(jià)格，列出方程即可。至于第二問則是先根據(jù)種植 種草莓的畝數(shù)不少于種植 種草莓的一半列出不等式，求出A種草莓的范圍，然后列出函數(shù)式來看在范圍內(nèi)總收入最大值是多少。
【解析】
解：設(shè)該農(nóng)場種植 種草莓 畝， 種草莓 畝
依題意，得： 2分
解得： ，
(2)由 ，解得
設(shè)農(nóng)場每年草莓全部被采摘的收入為y元，則：
當(dāng) 時(shí)， 有最大值為464000
答：(l) 種草莓種植2.5畝, 種草莓種植3.5畝.
(2)若種植 種草莓的畝數(shù)不少于種植 種草莓的一半，那么種植 種草莓2畝時(shí)，可使農(nóng)場每年草莓全部被采摘的總收入最多.
【例3】2009年12月聯(lián)合國氣候會(huì)議在哥本哈根召開.從某地到哥本哈根，若乘飛機(jī)需要3小時(shí)，若乘汽車需要9小時(shí).這兩種交通工具平均每小時(shí)二氧化碳的排放量之和為70千克，飛機(jī)全程二氧化碳的排放總量比汽車的多54千克，分別求飛機(jī)和汽車平均每小時(shí)二氧化碳的排放量.
【思路分析】本題比較簡單，但是涉及了時(shí)事熱點(diǎn)，看似復(fù)雜，實(shí)際一分析就發(fā)現(xiàn)等量非常好找。一個(gè)是單獨(dú)排放量之和等于70，另一個(gè)是排放總量之差等于54.于是可以列方程組求解。
【解析】
解：設(shè)乘飛機(jī)和坐汽車每小時(shí)的二氧化碳排放量分別是x千克和y千克.
依題意，得
解得
答: 飛機(jī)和汽車每小時(shí)的二氧化碳排放量分別是57千克和13千克
【例4】某中學(xué)擬組織九年級(jí)師生外出.下面是年級(jí)組長李老師和小芳同學(xué)有關(guān)租車問題的對(duì)話：
李老師：客運(yùn)公司有60座和45座兩種型號(hào)的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金比45座客車每輛每天的租金多200元.
小芳：我們學(xué)校八年級(jí)師生昨天在這個(gè)客運(yùn)公司租了4輛60座和2輛45座的客車外出參觀，一天的租金共計(jì)5000元.
根據(jù)以上對(duì)話，求客運(yùn)公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元?
【思路分析】本題兩句話就是兩個(gè)等式，第一句話的等式兩邊就是租金的差價(jià)，第二句話的兩邊是總租金的和。本題雖然也比較簡單，但是隨時(shí)可能有變化的空間。例如說八年級(jí)師生一共有xx人，問怎樣租車最經(jīng)濟(jì)。那么依然是做一個(gè)函數(shù)然后看函數(shù)的最小值。這種思路中考中也會(huì)比較容易考到，大家可以多發(fā)散思考一下。
【解析】
解：設(shè)客運(yùn)公司60座和45座客車每天每輛的租金分別為 元和 元.
由題意，列方程組
解之得
答：客運(yùn)公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是900元和700元
【例5】《喜羊羊與灰太狼》是一部中、小學(xué)生都喜歡看的動(dòng)畫片，某企業(yè)獲得了羊公仔和狼公仔的生產(chǎn)專利.該企業(yè)每天生產(chǎn)兩種公仔共450只，兩種公仔的成本和售價(jià)如下表所示.如果設(shè)每天生產(chǎn)羊公仔x只，每天共獲利y元.
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系及自變量x的取值范圍;
(2)如果該企業(yè)每天投入的成本不超過10000元，那么要每天獲利最多，應(yīng)生產(chǎn)羊公仔和狼公仔各多少只?
類別 成本(元/只) 售價(jià)(元/只)
羊公仔 20 23
狼公仔 30 35
【思路分析】本題是剛剛火熱出爐的二模題，結(jié)合了社會(huì)的熱點(diǎn)動(dòng)畫片來設(shè)立問題。雖然是應(yīng)用題，但是卻涉及了函數(shù)的思想，造成了一定的困擾。分析本題首先需要清楚獲利這個(gè)概念，就是售價(jià)減成本再乘以數(shù)量。其中，每天生產(chǎn)的數(shù)量是定值450，所以狼公仔就要用羊公仔數(shù)去表示，然后合理列出函數(shù)表達(dá)式。第二問夾雜進(jìn)了不等式，需要判斷出x的范圍上限和下限分別代表什麼意思，尤其是明白一次函數(shù)的單調(diào)性。
【解析】
解：(1)根據(jù)題意，得 =(23-20) +(35-30)(450- )，
即 =-2 +2250.
自變量x的取值范圍是0450且x為整數(shù).
(2)由題意，得20 +30(450- )10000.
解得 350.
由(1)得350450.
∵ 隨 的增大而減小，
當(dāng) =350時(shí)， 值最大.
最大=-2350+2250=1550.
450-350=100.
答：要每天獲利最多，企業(yè)應(yīng)每天生產(chǎn)羊公仔350只，狼公仔100只.
【總結(jié)】列方程解應(yīng)用題作為必考內(nèi)容，難度一般都不會(huì)很大。但是這類問題的特點(diǎn)是冗余信息多，干擾思考。例如動(dòng)輒來個(gè)知識(shí)背景介紹，或者模擬情景對(duì)話，簡單說就是廢話非常多。所以作為考生來說，碰到此類問題，第一步就是要從廢話中提取有用信息，然后設(shè)元，將廢話轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)元素。第二步就是提取題目中的等量信息。一般來講，等量信息無非分兩種，一個(gè)是個(gè)體的關(guān)系，如例5中的狼羊公仔數(shù)量和，以及不同客車的租金差;另一部分就是總體的關(guān)系，例如總收入，總支出之類的。順風(fēng)逆風(fēng)問題似乎近年來很少考到，大多是和錢有關(guān)的事情(笑)。所以需要考生關(guān)注總和比少比的幾倍多這種字眼，分析出等量關(guān)系去列出方程。具體操作來看，筆者比較傾向于非函數(shù)問題列二元方程去算，例如例1的解法，這樣的好處是比較直觀，在較為復(fù)雜的等式中如果一直用某個(gè)未知數(shù)的關(guān)系去表示另一個(gè)未知數(shù)容易造成等式過于冗長，容易出錯(cuò)。
第二部分 發(fā)散思考
【思考1】改革開放30年來，我國的文化事業(yè)得到了長足發(fā)展，以公共圖書館和博物館為例，1978年全國兩館共約有1550個(gè)，至2008年已發(fā)展到約4650個(gè). 2008年公共圖書館的數(shù)量比1978年公共圖書館數(shù)量的2倍還多350個(gè)，博物館的數(shù)量是1978年博物館數(shù)量的5倍. 2008年全國公共圖書館和博物館各有多少個(gè)?
【思路分析】本題看起來數(shù)字很多，什么1978，1550，4650，2008等等等等，但是年份都是多余的信息。仔細(xì)分析有用信息就是兩館和，兩館分別的增長量。于是設(shè)78年的兩館數(shù)量求解。但是注意的是最后題目問的是2008年的數(shù)量，所以不要忘記算一下再作答。
【思考2】將進(jìn)價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，能賣出500個(gè)，經(jīng)市場調(diào)查得知，該商品每漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，為了賺取8000元的利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少元?
【思路分析】本題也是和錢有關(guān)的題目，但是列出來的方程式一個(gè)一元二次方程，所以需要仔細(xì)對(duì)每漲價(jià)1，銷售量減10這個(gè)關(guān)系進(jìn)行分析。所以直接設(shè)漲價(jià)為x最為合適，利用8000元的總利潤列出方程求解即可。
【思考3】北京市實(shí)施交通管理新措施以來，全市公共交通客運(yùn)量顯著增加.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2008年10月11日到2009年2月28日期間，地面公交日均客運(yùn)量與軌道交通日均客運(yùn)量總和為1696萬人次，地面公交日均客運(yùn)量比軌道交通日均客運(yùn)量的4倍少69萬人次.在此期間，地面
公交和軌道交通日均客運(yùn)量各為多少萬人次?
【思路分析】中考原題，正如在上面總結(jié)中所說，這類問題一定要關(guān)注總和，比xxx幾倍少/多這種字眼。本題來說既然求各為多少萬人次，直接設(shè)兩個(gè)元。然后利用一次總和，利用一次倍差關(guān)系，輕松列出兩個(gè)方程構(gòu)成方程組求解。
【思考4】某運(yùn)輸公司用10輛相同的汽車將一批蘋果運(yùn)到外地，每輛汽車能裝8噸甲種蘋果，或10噸乙種蘋果，或11噸丙種蘋果.公司規(guī)定每輛車只能裝同一種蘋果，而且必須滿載.已知公司運(yùn)送了甲、乙、丙三種蘋果共100噸，且每種蘋果不少于一車.
(1)設(shè)用x輛車裝甲種蘋果，y輛車裝乙種蘋果，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫
出自變量x的取值范圍;
(2)若運(yùn)送三種蘋果所獲利潤的情況如下表所示：
蘋果品種 甲 乙 丙
每噸蘋果所獲利潤(萬元) 0.22 0.21 0.2
設(shè)此次運(yùn)輸?shù)睦麧櫈閃(萬元)，問：如何安排車輛分配方案才能使運(yùn)輸利潤W
最大，并求出最大利潤.
【思路分析】本題雖然是設(shè)函數(shù)的問題，但是利用共100噸這個(gè)關(guān)系列出包含x,y的函數(shù)即可。第二問則是在第一問的基礎(chǔ)上繼續(xù)建立函數(shù)，化簡后利用第一問的自變量范圍求最小值。細(xì)心把握題中信息就可以了。
第三部分 思考題解析
【思考1解析】
解：設(shè)1978年全國有公共圖書館x個(gè)，博物館y個(gè)
由題意，得
解得 (有些同學(xué)沒看清問題就直接寫這個(gè)上去了，丟分很可惜)
則 ， .
答：2008年全國有公共圖書館2650個(gè)，博物館2000個(gè).
【思考2解析】
解：設(shè)漲價(jià)x元，則售價(jià)為(50+x)元.
依題意，列方程，得
(50+x-40)(500-10x)=8000.
整理，得
x2-40x+300=0，
解得
x1=10，x2=30.
答：售價(jià)應(yīng)定為60或80元.
【思考3解析】
設(shè)軌道交通日均客運(yùn)量為 萬人次，地面公交日均客運(yùn)量為 萬人次.
依題意，得
解得
答：軌道交通日均客運(yùn)量為353萬人次，地面公交日均客運(yùn)量為1 343萬人次.
【思考4解析】
(1)∵ ，
y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 .
∵ y1，解得x3.
∵ x1， 1，且x是正整數(shù)，
自變量x的取值范圍是x =1或x =2或x =3.
(2) .
因?yàn)閃隨x的增大而減小，所以x取1時(shí)，可獲得最大利潤，
此時(shí) (萬元).
獲得最大運(yùn)輸利潤的方案為：用1輛車裝甲種蘋果，用7輛車裝乙種蘋果，2輛車裝丙種蘋果.
